Тема урока: Степень с действительным показателем.

Задачи:

• Образовательные :
  • обобщить понятие степени;
  • отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
  • закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
  • выработать навык использования свойств степени при вычислениях.
• Развивающие :
  • интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательный интерес.
• Воспитательные :
  • воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
  • эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем.

Учащиеся должны уметь:

• определять имеет ли смысл выражение со степенью;
• использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;
• решать примеры, содержащие степень;
• сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

ХОД УРОКА

Организационный момент

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Какая наша стратегическая цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков.

3. Итак, а р, где р – число действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , 43, ) степени

– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем

4. При каких значениях а имеет смысл выражение

аn, где n (а – любое)
аm, где m (а 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?
, где (а0)

5. Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Вычислите. Ответы в каждом столбике обладают одним общим свойством. Укажите лишний ответ (этим свойством не обладающий)

2 = =
= 6 = (неправ. др.) = (нельзя записать дес. др.)
= (дробь) = =

7. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

Один ученик записывает формулы (свойства) в общем виде.

8. Дополнить степени из п.3 так, чтобы к полученному примеру можно было применить свойства степени.

(Один человек работает у доски, остальные в тетрадях. Для проверки обменяться тетрадями, а ещё один выполняет действия на доске)

9. На доске (работает ученик):

Вычислите : =

Самостоятельно (с проверкой на листах)

Какой из ответов не может получиться в части «В» на ЕГЭ? Если в ответе получилось , то как записать такой ответ в части «В»?

10. Самостоятельное выполнение задания (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание с выбором ответа

1
2	:
3	0,3
4

11. Задание с кратким ответом (решение у доски):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Самостоятельно с проверкой на скрытой доске:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Сократите дробь (на доске):

В это время один человек решает на доске самостоятельно: = (класс проверяет)

13. Самостоятельное решение (на проверку)

На отметку «3»: Тест с выбором ответа:

1. Укажите выражение, равное степени

1.

2.

3.

4.

2. Представьте в виде степени произведение: – Спасибо за урок!

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

• Упростить выражение.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представить в виде степени.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Представить в виде степени.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важно!

  Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

  Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

  Будьте внимательны!

  Свойство № 3
  Возведение степени в степень

  Запомните!

  При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

  (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

  
  

  Свойства 4
  Степень произведения

  Запомните!

  При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

  (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важно!

  Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

  (a n · b n)= (a · b) n

  То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

  Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Пример возведения в степень десятичной дроби.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Свойства 5
  Степень частного (дроби)

  Запомните!

  Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

  (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

С. Шестаков,
Москва

Письменный экзамен

11 класс
1. Вычисления. Преобразование выражений

§ 3. Степень с действительным показателем

Упражнения § 5 первой главы сборника в основном связаны с показательной функцией и ее свойствами. В этом параграфе, как и в предыдущих, проверяется не только умение выполнять преобразования на основе известных свойств, но и овладение учащимися функциональной символикой. Среди заданий сборника можно выделить следующие группы:

• упражнения, проверяющие усвоение определения показательной функции (1.5.A06, 1.5.B01–B04) и умение пользоваться функциональной символикой (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);
• упражнения на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 и др.);
• упражнения на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11);
• прочие упражнения (в том числе связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Рассмотрим ряд задач, связанных с функциональной символикой.

1.5.A02. д) Даны функции

Найдите значение выражения f 2 (x) – g 2 (x).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ: –12.

1.5.C11. б) Даны функции

Найдите значение выражения f(x) f(y) – g(x) g(y), если f(x – y) = 9.

Приведем краткие решения упражнений на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции.

1.5.B07. а) Известно, что 6 a – 6 –a = 6. Найдите значение выражения (6 a – 6) · 6 a .

Решение. Из условия задачи следует, что 6 a – 6 = 6 –a . Тогда

(6 a – 6) · 6a = 6 –a · 6 a = 1.

1.5.C05. б) Найдите значение выражения 7 a–b , если

Решение. По условию Разделим числитель и знаменатель левой части данного равенства на 7 b . Получим

Сделаем замену. Пусть y = 7 a–b . Равенство принимает вид

Решим полученное уравнение

Следующая группа упражнений - задачи на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции.

1.5.B11. б) Расположите числа f(60), g(45) и h(30) в порядке убывания, если f(x) = 5 x , g(x) = 7 x и h(x) = 3 x .

Решение. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 и h(30) = 3 30 .

Преобразуем данные степени так, чтобы получить одинаковые показатели:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

Запишем основания в порядке убывания: 625 > 343 > 9.

Следовательно, искомый порядок: f(60), g(45), h(30).

Ответ: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. а) Сравните , где x и y - некоторые действительные числа.

Решение.

Поэтому

Поэтому

Поскольку 3 2 > 2 3 , получаем, что

Ответ:

1.5.D11. а) Сравните числа

Поскольку получим

Ответ:

В завершение обзора задач на степень с действительным показателем рассмотрим упражнения, связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.

1.5.A03. б) Дана функция f(x) = (0,1) x . Найдите значение выражения 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 · 1 + 4 · 0,1 + 9 · 0,01 + 6 · 0,001 = 4,496.

Таким образом, данное выражение является разложением в сумму разрядных единиц десятичной дроби 4,496.

Ответ: 4,496.

1.5.D07. а) Дана функция f(x) = 0,1 x . Найдите значение выражения f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0,1 9 +...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...

Данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 0,001 и знаменателем –0,001. Сумма равна

1.5.D09. а) Найдите значение выражения 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x , если 5 x –5 y =3, x + y = 3.

5 2x +5 2y +25 x · 5 y –25 y · 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 · 5 x · 5 y +5 x · 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x+y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.

Ответ: 634.

§ 4. Логарифмические выражения

При повторении темы «Преобразование логарифмических выражений» (§ 1.6 сборника) следует вспомнить ряд основных формул, связанных с логарифмами:

Приведем ряд формул, знание которых не требуется для решения задач уровней A и B, но может оказаться полезным при решении более сложных задач (число этих формул можно как уменьшать, так и увеличивать в зависимости от взглядов учителя и уровня подготовленности учащихся):

Большинство упражнений из § 1.6 сборника можно отнести к одной из следующих групп:

• упражнения на непосредственное использование определения и свойств логарифмов (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08, 1.6.D10);
• упражнения на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
• упражнения на сравнение значений двух выражений, содержащих логарифмы (1.6.C11);
• упражнения с комплексным многошаговым заданием (1.6.D11, 1.6.D12).

Приведем краткие решения упражнений на непосредственное использование определения и свойств логарифмов.

1.6.B05. а) Найдите значение выражения

Решение.

Выражение принимает вид

1.6.D08. б) Найдите значение выражения (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. а) Найдите значение выражения

Решение. Преобразуем числитель:

log 6 42 · log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 · log 7 6.

Но log 6 7 · log 7 6 = 1. Следовательно, числитель равен 2 + log 6 7 + log 7 6, а дробь равна 1.

Перейдем к решению упражнений на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма.

1.6.D02. а) Найдите значение выражения log 70 320, если log 5 7=a , log 7 2=b .

Решение. Преобразуем выражение. Перейдем к основанию 7:

Из условия следует, что . Поэтому

В следующей задаче требуется сравнить значения двух выражений, содержащих логарифмы.

1.6.C11. а) Сравните числа

Решение. Приведем оба логарифма к основанию 2.

Следовательно, данные числа равны.

Ответ: данные числа равны.

Самостоятельная работа студента 1 курс по теме Степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем (6 часов)

Изучить теоретический материал и сделать конспект (2 часа)

Разгадать кроссворд (2 часа)

Выполнить домашнюю контрольную работу (2 часа)

Справочный и дидактический материал представлен ниже

О понятии степени с рациональным показателем

Некоторые наиболее часто встречающиеся

Виды трансцендентных функций, прежде

Всего показательные, открывают доступ ко

Многим исследованиям.

Л. Э й л е р

Из практики решения-все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство а 0 = 1 (для ) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его

труде «Алгоризм пропорций». Вместо нашего знака он писал , вместо он писал 4. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи): , и т.п.

Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в «Полной арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени п из числа а можно считать как степень а с дробным показателем .

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г, английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого - при введении понятия умножения на дробь и т. п.

Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.

Степенной функцией называют функцию вида

где α- постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:

где - рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:

у =1, у =х.

Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.

При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z , второе - через у, третье - через x :, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

Декарт с помощью подстановки

получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

изображающее окружность, расположенную в одной плоскости (z х) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».

И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание

Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:

Рациональное число

Целое число

Натуральное число

Иррациональное число (Действительное число)

Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

– повторить свойства степени

– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений

– отработка вычислительных навыков.

Итак, а р, где р – число действительное.

Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , , 43, ) степени

– с натуральным показателем

– с целым показателем

– с рациональным показателем

– с иррациональным показателем

При каких значениях а имеет смысл выражение

а n , где n (а – любое)

а m , где m (а не равно 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?

Где p , q (а > 0)

Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

При умножении степеней с равными основаниями	Основания умножаются, а показатель остаётся прежним
При делении степеней с равными основаниями	Основания делятся, а показатель остаётся прежним

Тема урока: Степень с рациональным и действительным показателями.

Цели:

Образовательные :

• обобщить понятие степени;

  отработать умение находить значение степени с действительным показателем;

  закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;

  выработать навык использования свойств степени при вычислениях.

Развивающие :

• интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

  развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

  активизировать самостоятельную деятельность;

  развивать познавательный интерес.

Воспитательные :

• воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;

  эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем

Учащиеся должны уметь:

определять имеет ли смысл выражение со степенью;

использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;

решать примеры, содержащие степень;

сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Педагогические технологии : проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно - ориентированное обучение, коммуникативное.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

презентация

формулы и таблицы (приложение 1,2)

задание для самостоятельной работы (приложение 3)

План урока

№

Этап урока

Цель этапа

Время,мин.

Начало урока

Сообщение темы урока, постановка целей урока.

1-2 мин

Устная работа

Повторить формулы степеней.

Свойства степеней.

4-5 мин.

Фронтальное решение у

доски из учебника №57(1,3,5)

№58(1,3,5) с подробным следованием плану решения.

Формирование умений и навыков

у учащихся применять свойства

степеней при нахождениях значений выражения.

8-10 мин.

Работа в микрогруппах.

Выявление пробелов в знаниях

учащихся, создание условий для

индивидуального развития ученика

на уроке.

15-20 мин.

Подведение итогов работы.

Отследить успешность работы

Учащихся при самостоятельном решении задач по теме, выяснить

характер затруднений, их причины,

указать коллективно пути решения.

5-6 мин.

Домашнее задание

Познакомить учащихся с заданием на дом. Дать необходимые пояснения.

1-2 мин.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Здравствуйте ребята! Запишите в тетрадях число, тема урока.

Рассказывают, что изобретатель шахмат в награду за свое изобретение попросил у раджи немного риса: на первую клетку доски он попросил положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью- ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки.

Его просьба показалась радже слишком скромной, однако вскоре выяснилось, что выполнить её невозможно. Число зёрн, которые нужно было передать изобретателю шахмат в награду, выражается суммой

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Эта сумма равна огромному числу

18446744073709551615

И она столь велика, что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты, включая мировой океан.

Степени используют при записи чисел и выражений, что делает их более компактными и удобными для выполнения действий.

Часто степени употребляются при измерении физических величин, которые могут быть «очень большими» и «очень маленькими».

Масса Земли 6000000000000000000000т записывают в виде произведения 6.10 21 т

Диаметр молекулы воды 0,0000000003м записывают в виде произведения

3.10 -10 м.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Итак а x ,где х- действительное число. Выберите из выражений

С натуральным показателем

С целым показателем

С рациональным показателем

С иррациональным показателем

3. Какая наша цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков

4 . Степень с рациональным показателем

Основание

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Не существует

Не существует

5 . Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:

6 . Определение

Если число r - натуральное, то а r есть произведение r чисел, каждое из которых равно а:

a r = a . a . … . a

Если число r - дробное и положительное, то есть, где m и n - натуральные

числа, то

Если показатель r является рациональным и отрицательным, то выражение a r

определяется как величина, обратная к a - r

или

Если

7 . Например

8 . Степени положительных чисел обладают следующими основными свойствами:

9 . Вычислить

10. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

А)При умножении степеней с равными основаниями

1)Основания умножаются, а показатель остаётся прежним

Б)При делении степеней с равными основаниями

2)Основания делятся, а показатель остаётся прежним

В)При возведении степени в степень

3)Основание остаётся прежним, а показатели умножаются

Г)При умножении степеней с равными показателями

4)Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются

Д)При делении степеней с равными показателями

5)Основание остаётся прежним, а показатели складываются

11 . Из учебника (у доски)

Для решения в классе:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . По материалам ЕГЭ

(самостоятельная работа) на листочках

XIV века.

Ответ: Орезма. 13. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями:

14. Домашнее задание

§ 5 (знать определения, формулы)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

В заключение урока:

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

– Так сказал великий русский математик Михаил Ломоносов.

– Спасибо за урок!

Приложение 1

1.Степени. Основные свойства

Показателем

a 1 =a

a n =a.a. … .a

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Степень с целым показателем

a 0 =1,

где a

0 0 -не определено.

Степень с рациональным

Показателем

где a

m n

Степень с иррациональным показателем

Ответ: ==25,9...

1. a x . a y =a x+y

2.a x : a y = = a x-y

3. .(a x ) y =a x.y

4.(a.b) n =a n .b n

5. (=

6. (

Приложение 2

2. Степень с рациональным показателем

Основание

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Не существует

Не существует

Приложение 3

3. Самостоятельная работа

Впервые действия над степенями использовал французский математик XIV века.

Расшифруйте фамилию французского ученого.